1 Verosimiglianza profilo.
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1.1 Verosimiglianza totale
Verosimiglianza rispetto a \(\mu,\sigma^2\) per un campione di ampiezza 20 estratto da una normale standard, con osservazioni \(x_i, \ (i=1,2,..,20)\):
[1] -1.2071 0.2774 1.0844 -2.3457 0.4291 0.5061 -0.5747 -0.5466 -0.5645 -0.8900 -0.4772 -0.9984 -0.7763 0.0645
[15] 0.9595 -0.1103 -0.5110 -0.9112 -0.8372 2.4158You must enable Javascript to view this page properly.
1.2 Verosimiglianza profilo
Verosimiglianza profilo: per ciascun valore fissato \(\mu\) stimiamo \(\sigma^2\) da un campione di ampiezza 20 mediante il classico stimatore di massima verosimiglianza, ma in funzione di un particolare valore di \(\mu\), e per questo espresso come \(\hat{\sigma}^2(\mu)\):
\[ \hat{\sigma}^2(\mu)=\frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i-\mu)^2}{n}\] ad esempio per il valore di \(\mu = -0.51\) la verosimiglianza è massima per \[ \hat{\sigma}^2(\mu)=\frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i-(-0.51))^2}{n} = 1.05 \]You must enable Javascript to view this page properly.
Nel grafico corrisponde a fare una sezione in corrispondenza del valore \(\mu = -0.51\) e calcolare il valore di \(\hat{\sigma}^2(\mu)\) per la quale è massima questa curva ottenuta come intersezione fra il piano con \(\mu\) costante e la verosimiglianza totale (in colore blu)
1.3 Rappresentazione dell’intera verosimiglianza profilo
A questo punto calcoliamo \(\hat{\sigma}^2(\mu)\) per tutti valori di \(\mu\) e rappresentiamo la sulla verosimiglianza la curva \(L(\hat{\sigma}^2(\mu),\mu )\), che è ora solo funzione di , e comprende i punti sulla superficie di \(L(\cdot)\), in corrispondenza di ciascun valore di \(\mu\) e dei corrispondenti ottimi \(\hat{\sigma}^2(\mu)\) (in rosso nel grafico)
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